$$
Théorème: Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>\max(p_c, 0)$, on a
$$\mathcal L(g)(p)=\frac 1p\mathcal L(f)(p). $$
Valeurs initiales et valeurs finales
Théorème:
Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Transformation de Laplace | Équations différentielles | Khan Academy. Alors
$$\lim_{p\to 0}pF(p)=\lim_{t\to+\infty}f(t). $$
Soit $f$ une fonction causale. Alors
$$\lim_{p\to +\infty}pF(p)=f(0^+). $$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c}
f(t)&\mathcal L(f)( p) \\
\mathcal U(t)&\frac 1p\\
e^{at}\mathcal U(t), \ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\
t^n\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N&\frac{n! }{p^{n+1}}\\
t^ne^{at}\mathcal U(t), \ n\in\mathbb N, \ a\in\mathbb R&\frac{n!
Définition, abscisses de convergence
On appelle fonction causale toute fonction nulle sur $]-\infty, 0[$ et continue par morceaux sur $[0, +\infty[$. La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et
$\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$. Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par
$$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$$
pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge. On dit que $f$ est à croissance exponentielle d'ordre $p$ s'il existe $A, B>0$ tels que,
$$\forall x\geq A, |f(t)|\leq Be^{pt}. $$
On appelle abscisse de convergence de la transformée de Laplace de $f$ l'élément $p_c\in\overline{\mathbb R}$ défini par
$$p_c=\inf\{p\in\mathbb R;\ f\textrm{ est à croissance exponentielle d'ordre}p\}. Tableau transformée de laplace. $$
Proposition: Si $p>p_c$, alors l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$ converge absolument. En particulier,
$\mathcal L(f)(p)$ est défini pour tout $p>p_c$. Propriétés de la transformée de Laplace
La transformée de Laplace est linéaire:
$$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).
Fonction de transformation de Laplace
Table de transformation de Laplace
Propriétés de la transformation de Laplace
Exemples de transformation de Laplace
La transformée de Laplace convertit une fonction du domaine temporel en fonction du domaine s par intégration de zéro à l'infini
de la fonction du domaine temporel, multipliée par e -st. La transformée de Laplace est utilisée pour trouver rapidement des solutions d'équations différentielles et d'intégrales. La dérivation dans le domaine temporel est transformée en multiplication par s dans le domaine s. L'intégration dans le domaine temporel est transformée en division par s dans le domaine s. Transformée de Laplace : Cours-Résumés-Exercices corrigés - F2School. La transformation de Laplace est définie avec l' opérateur L {}:
Transformée de Laplace inverse
La transformée de Laplace inverse peut être calculée directement. Habituellement, la transformée inverse est donnée à partir du tableau des transformations.
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Fiche mémoire sur les transformées de Laplace usuelles
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fiche: Table des transformées de Laplace Transformée de Laplace/Fiche/Table des transformées de Laplace », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Transformées de Laplace directes
( Modifier le tableau ci-dessous)
Fonction
Transformée de Laplace et inverse
1
Transformées de Laplace inverses
Transformée de Laplace
1