Champ d'application [ modifier | modifier le code] Radioactivité [ modifier | modifier le code] Un domaine privilégié de la loi exponentielle est le domaine de la radioactivité ( Rutherford et Soddy). Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle. Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration. 1ère - Cours - Fonction exponentielle. La durée de vie moyenne s'appelle le temps caractéristique. La loi des grands nombres permet de dire que la concentration d'atomes radioactifs va suivre la même loi. La médiane correspond au temps T nécessaire pour que la population passe à 50% de sa population initiale et s'appelle la demi-vie ou période. Électronique et files d'attente [ modifier | modifier le code] On modélise aussi fréquemment la durée de vie d'un composant électronique par une loi exponentielle. La propriété de somme permet de déterminer l'espérance de vie d'un système constitué de deux composants en série. En théorie des files d'attente, l'arrivée de clients dans une file est souvent modélisée par une loi exponentielle, par exemple dans le modèle de la file M/M/1.
( exp ( a)) n = exp ( n a) (\exp (a))^n=\exp (na)
Propriété Exponentielle d'une soustraction Soient a a et b b deux nombres réels. exp ( a − b) = exp ( a) exp ( b) \exp (a-b)=\frac{\exp (a)}{\exp (b)}
Remarque Un cas particulier de cette formule donne avec a = 0 a=0 pour tout réel b b:
exp ( − b) = exp ( 0) exp ( b) = 1 exp ( b) \exp (-b)=\frac{\exp (0)}{\exp (b)}=\frac{1}{\exp (b)}
C Équations et inéquations avec la fonction exponentielle Propriété Égalité d'exponentielles Soient a a et b b deux nombres réels. Si exp ( a) = exp ( b) \exp (a)=\exp (b) alors a = b a=b, et réciproquement. Exemple Résoudre e 4 x 2 = e 1 x − 3 x e^{4x^2}=e^{\frac{1}{x}-3x} revient à résoudre 4 x 2 = 1 x − 3 x 4x^2=\frac{1}{x}-3x. Propriété Inéquation d'exponentielles Soient a a et b b deux nombres réels. Si exp ( a) < exp ( b) \exp (a)<\exp (b) alors a < b a
Objectif(s)
Propriétés - Équations -
Inéquations
1. Propriétés
Pour tous réels a et b:
•;
• pour tout n entier
relatif. Pour tout réel x: ln(e x)
= x. Pour tout réel x > 0:
e ln( x) = x.
e 0 = 1
Pour tout réel x: e x > 0. Exemples...
2. Equations
On peut utiliser l'une des deux propriétés
suivantes:
• Pour tous réels a et b > 0: « e a = b »
équivaut à « a = ln( b)
». • Pour tous réels a et b:
« e a = e b »
équivaut à « a = b
Exemple
Résoudre dans l'équation: e x-3 = 2. L'équation s'écrit: e x-3 =
e ln(2). x - 3 = ln(2)
x = 3 + ln(2)
S = {3 + ln(2)}. 3. Inéquations
Pour tous réels a et
b: « e
a > e
b » équivaut
à « a >
b ». Résoudre dans l'inéquation: e 3-x > 2. L'inéquation s'écrit:
e 3- x >
3 - x > ln(2)
- x > ln(2) -3
x > 3 - ln(2)
S =]-∞; 3 - ln(2)[.